Geplaatst op zondag 07 december 2003 @ 20:47 , 2223 keer bekeken
De wiskundige Leonardo Pisano, ook wel Leonardo de Pisa genoemd, mag gezien worden als de belangrijkste wiskundige uit de vroege middeleeuwen, hij schreef verschillende boeken, maar het beroemdste boek is wel "liber abbaci" ofwel "het boek van het telraam" (of rekenboek), geschreven in 1202.
Met dit boek introduceerde hij in Europa de hindoe-arabische cijfers (ons huidig tientallig stelsel); hierbij voerde hij ook het pariteitsteken en de nul in (negatieve getallen). Fibonacci wordt vaak beschouwd als de eerste grote westerse wiskundige sinds de val van de Griekse wetenschap.
Handelaar en wiskundige
Leonardo Pisano is echter beter gekend onder de roepnaam Fibonacci, wat in het Latijn "de zoon van Bonaccio" betekent.
Leonardo van Pisa was zowel handelaar als wiskundige; in die tijd ging het één immers samen met het andere. Hij werd geboren in Pisa rond 1170 en is er waarschijnlijk ook gestorven rond 1250.
Pisa was in die tijd een belangrijke handelsstad. Leonardo's vader was Bonaccio was secretaris van de Republiek van Pisa en verantwoordelijk - rond 1192 - voor de leiding van de een handelskolonie in de Noord Afrikaanse stad Bugia (nu Bejaïa in Algerije). Leonardo groeide dus op in Noord Afrika en heeft daar ook zijn scholing gehad. Zijn vader wilde dat zijn zoon ook handelaar werd en vooral dat hij zich bekwaamde in de Hindu-Arabische cijfers en rekentechnieken, omdat deze in Europa nog niet gekend waren. Daardoor reisde Fibonacci kort na 1192, in opdracht van zijn vader en in het kader van de handelsbetrekkingen van de republiek Pisa, veel in landen rondom de Middellandse zee zoals Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en de Provence. Hij komt zo in contact met veel andere culturen waarvan hij vooral de vele mathematische technieken bestudeerd die in deze streken werden gebruikt. Hij was één van de eersten die het Hindu-Arabische cijfer- & positiesysteem naar Europa bracht. (positiestelsel betekent dat de waarde van een cijfer van zijn positie in een getal afhangt)
standbeeld Fibonacci te Pisa
Rond 1200 keerde Fibonacci terug naar Pisa waar hij voor tenminste 25 jaar werkte aan zijn eigen wiskundige technieken.
In deze periode schreef hij een viertal werken en één brief die tot nu toe bewaard zijn gebleven:
- "Liber abaci" (1202, 1228) met de beroemde Fibonacci-reeks als oplossing van het "konijnenprobleem (zie verder)
- "Practica geometriae (1220/1221)";
- brief aan Theodorus, de keizerlijke filosoof aan het hof van de Hohenstaufen-keizer Frederick II; Keizer van het toenmalige Heilige Romeinse Rijk.
- "Flos" (1225), een verzameling van oplossingen voor problemen die in het bijzijn van keizer Frederick II waren gesteld
- "Liber quadratorum" (1225), een boek over cijfertheorieën met betrekking tot het gelijktijdig oplossen van vergelijkingen in het kwadraat met twee of meer variabelen (?)
De reputatie van Leonardo of Fibonacci als wiskundige was zo groot dat keizer Frederick hem ter audientie riep wanneer hij in Pisa verbleef rond 1225.
Na 1228 is er nog weinig geweten van Leonardo's leven, tenzij dat bij decreet de Republiek Pisa "de wijze en geleerde Meester Leonardo Bigollo' (discretus et sapiens) een jaarlijks salarium van 'libre XX denariorem' naast wat normaal gebruikelijk is" betaalde. En dit voor sijn pro bono adviezen aan de Republiek in materies zoals boekhouden en daaraan gekoppelde wiskundige zaken.
het konijnenprobleem van Fibonacci
In zijn boek "Liber Abaci" loste hij heel wat problemen of vraagstukken op. In dit boek beschrijft hij een zeer fascinerende reeks van cijfers, de als nu bekend staande "fibonacci sommatie reeks". Deze reeks en de afleiding daarvan, de "gulden snede", blijkt in de natuur vaak voor te komen en geeft dus een antwoord op heel wat wetmatigheden in de natuur, zoals in het volgende probleem dat hij in 1202 formuleerde:
Een boer koopt op de markt in Pisa twee jonge konijnen: een mannetje en een vrouwtje. De eerste maand brengt dit stel nog geen kleintjes voort, maar na de tweede maand worden de eerste twee konijnen geboren: een mannetje en een vrouwtje. Gedurende de daaropvolgende maanden brengt dit eerste stel konijnen steeds twee konijnen van verschillend geslacht ter wereld. Maar ook de nakomelingen van dit stel gaan, nadat ze een maand oud zijn, zich voortplanten en brengen elke maand een stel konijnen ter wereld.
Fibonacci vroeg zich af hoeveel konijnen de boer in de opeenvolgende maanden heeft, er vanuit gaande dat geen enkel stel doodgaat. De aantallen konijnenparen in de opeenvolgende maanden vormen een rij, die de rij van Fibonacci genoemd wordt. Hij vond een getallenreeks waarvan het nieuwe getal steeds bestaat uit de som van de twee voorgaande getallen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, enz. Het is pas veel later dat deze reeks door de Franse wiskundige Edouard Lucas de Fibonacci-reeks werd genoemd (rond 1870).
Fibonaccireeks en zijn verhoudingen
Je kan dan verder met de getallen uit deze reeks van Fibonacci spelen. Laten we elk getal uit de reeks eens delen door het vorige getal uit de reeks. We krijgen dan de volgende reeks: (1/1) = 1; (2/1) = 2; (3/2)= 1,5; (5/3) = 1,666; (8/5) = 1,6; (13/8) = 1,6225.
Zoals u kunt zien, tendeert de verhouding tussen twee Fibonacci getallen (als we dus een getal delen door het voorgaande) naar een bepaalde waarde, die wiskundigen het getal phi noemen. Het getal phi wordt ook wel het gouden getal genoemd. Evenals het getal pi kan de waarde van niet exact weergegeven worden met decimalen.
Het is een irrationeel getal. Bij benadering komt het getal phi overeen met 1,618034. De verhouding van 1 : 1,618034 (ongeveer 2,62.) is ook bekend geworden onder de naam 'gulden snede'. (PS: als we een getal delen door het volgende getal dan is de uitkomst steeds rond 0,618).
De Gulden Snede geeft een verhouding weer die niet alleen veelvuldig in de natuur wordt aangetroffen maar ook in de klassieke architectuur wordt deze verhouding gezien als de meest 'aangename', een opvatting die we ook tegenkomen bij latere architectonische stijlen zoals de gotiek. Voorbeelden zijn het Parthenon op de Akropolis, het theater van Epidauros (de verhouding tussen de hoger en lager gelegen tribunes) en de kathedraal van Laon.
Later is ontdekt dat deze ratio's behalve op allerlei natuurkundige fenomenen (ook bij bloeiwijzen en vruchten vinden we de reeks van Fibonacci terug) ook op aandelenkoersen kunnen worden toegepast of de chaos respecteert toch een bepaalde orde.
Ook Luca Pacioli (1445-1517), zeer bekend middeleeuws wiskundige en tevens vader van het moderne dubbel-boekhouden schreef in zijn werk "Divina proportione" over de "Gulden Snede". Bekend is vooral zijn boek "Summa de arithmetica, geometria proportioni et propornionalita" (1494)
Rekenen in de Middeleeuwen
Fibonacci is voor de Westerse beschaving tevens erg belangrijk geweest door de invoer van de Arabische cijfers (1 2 3 4 5 6 7 8 9 en 0), het tientallige positiestelsel en het bijbehorende rekenwerk (afkomstig van het Indische subcontinent). Hij heeft er voor gezorgd, dat we tegenwoordig gemakkelijk ingewikkelde getallen kunnen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Dat was in de Middeleeuwen immers met de toenmalig gebruikte Latijnse cijfers I, V, X, C en M geen eenvoudige zaak.
Men was in de middeleeuwen gewend getallen in Romeinse cijfers op te schrijven en met een rekenbord met steentjes te rekenen. Deze methode voldeed goed in de dagelijkse middeleeuwse praktijk, waarin grote getallen niet nodig waren. Dus waarom zou men dit nieuwe onbekende systeem uit de Arabische wereld aannemen?
Koopmannen vormen echter de inspiratie voor het grootste gedeelte van Fibonacci's eerste werk. Alledaagse problemen zoals het berekenen van prijzen, opbrengsten, rente en het rekenen met de vele munteenheden die de landen rond de Middellandse Zee hanteerden, lost hij op met behulp van het tientallig stelsel.
Een probleem was ook, dat de vorm van de cijfers niet erg bekend was, en dat men er dus gemakkelijk mee kon frauderen. Bijvoorbeeld, als je een bepaald cijfer op een onduidelijke manier in een contract schreef, dan kon je later altijd beweren dat er een ander cijfer was bedoeld. In de stad Florence zijn de Indiase cijfers daarom een tijdlang verboden geweest.
Zo hebben de Indiase cijfers dus ook in middeleeuws Europa een moeilijke start gemaakt.
De complexiteit van het werken met Romeinse cijfers kunnen we aantonen met volgend voorbeeld.
Eerst de lijst met de Romeinse cijfers:
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
Een optelsom en een verschil zagen er dus als volgt uit:
CLXXIIII + XXVIII = CCII (174 + 28 = 202) of
CLXXIIII - XXVIII = CXXXXVI (174 - 28 = 146)
Tot de jaren 1200 was er dus deze moeilijke methode van optellen en aftrekken aan de hand van Romeinse cijfers, wat dodelijk was bij de handelsbetrekkingen. Fibonacci brengt dus de huidige methode van optellen en aftrekken op basis van het decimale stelsel naar het Europese vasteland.
Het keerpunt kwam slechts in de 14e eeuw. De kooplieden in Italië hadden te maken met een groeiende handel en daarbij waren steeds meer en steeds ingewikkeldere berekeningen nodig.
Onder andere door het boek van Leonaro Fibonacci raakten veel kooplieden er van overtuigd dat het Indiase systeem het beste was. Het systeem werd daarom ingevoerd aan de Italiaanse 'business schools' uit die tijd. Hierdoor verdrong het uiteindelijk de Romeinse cijfers en de rekenborden. Na de ontwikkeling van de boekdrukkunst werd de vorm van de cijfers gestandaardiseerd op de manier zoals we die nu kennen.
Waarschijnlijk bestaan wel boeken over Fibonacci in het Italiaans maar dit is nu niet mijn sterkste kant en daarom ben ik op zoek gegaan naar engelse versies.
Resultaat van de zoektocht gaf volgend lijstje:
- Liber Abaci: is in het engels beschikbaar, vertaald door L. E. Sigler, Springer Verlag (2002),672 blz.. L.E. SIGLER, Fibonacci's Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation. In de reeks "Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. (te koop via amazon.com)
- Liber quadratorum: is vertaald in het engels door dezelfde Sigler als The Book of Squares in 1987, Academic Press.
- Brief aan Meester Theodorus: een engelse vertaling is te vinden in: Fibonacci's Mathematical Letter to Master Theodorus van Horodam in het Fibonacci Quarterly 1991, vol 29, blz 103-107.
Een boek over Fibonacci bestaat in het engels: Leonardo of Pisa and the New Mathematics of the Middle Ages. J. Gies, F. Gies, Crowell press, 1969.
Op amazon.com vind je ook nog de volgende boeken onder de naam Fibonacci (maar uitgeput):
- The metaphysics of figures & symbols in Fibonacci's conception of the universe
- The Fibonacci's secret discoveries into the occult power of numbers
Links
Volgende links (tevens bronnen van dit artikel) werden toegevoegd aan de startpagina http://middeleeuwen.2link.be onder de post "wetenschappers":
http://www.home.zonnet.nl/LeonardEuler/fibo.htm
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html
